Vers la formule de probabilité conditionnelle

Dans cet exercice, on s'intéresse au pourcentage de réussite à l'examen final de BTS qui a été passé, dans un lycée, par \(\text{40 }\)étudiants. Parmi ces étudiants :

• \(40~\%\) sont issus de la voie professionnelle ;
  
• \(45~\%\) sont issus de la voie technologique ;
  
• les autres sont issus de la voie générale.
  

Par ailleurs, on sait que cette année-là :

•  \(75~\%\) des étudiants de la promotion ont réussi l'examen final ;
  
• \(\text{15}\) étudiants issus de la filière technologique ont réussi leur examen final ;
  
• \(\text{2}\) étudiants issus de la filière générale n'ont pas réussi leur examen final.
  

1. Compléter le tableau croisé suivant résumant les informations de l'énoncé.

\(\begin{array}{|l|c|c|c|r|}\hline &\text{Générale}&\text{Technologique}&\text{Professionnelle}&\text{Total}\\\hline \text{Réussite}&&& \\\hline \text{Non réussite}&&&& \\\hline\text{Total}&&&& \\\hline \end{array}\)

Dans la suite on assimilera fréquence et probabilité.

On choisit au hasard un étudiant ayant passé l'examen et on note : 

• \(\text{G}\) l'événement : « l'étudiant est issu de la filière générale » ;
  
• \(\text{T}\) l'événement : « l'étudiant est issu de la filière technologique » ;
  
• \(\text{L}\) l'événement : « l'étudiant est issu de la filière professionnelle » ;
  
• \(\text{R}\) l'événement : « l'étudiant a réussi son examen final ».
  

2. Calculer le cardinal de l'événement \(\text{T}\).
3. Calculer \(\text{Card}(\text{T}\cap \text{R})\).
4. On interroge au hasard un étudiant issu de la filière technologique. Calculer la probabilité que l'étudiant ait réussi l'examen final. On notera cette probabilité \(P_\text{T}(\text{R})\).
5. Donner une interprétation de la notation \(P_\overline{\text{R}}(\text{L})\) .
6. Compléter le tableau suivant avec les valeurs numériques. 

  \(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{Card}(\text{T}) & \text{Card}(\text{T}\cap \text{R}) & \dfrac{\text{Card}(\text{T}\cap \text{R})}{\text{Card}(\text{T})} & P_\text{T}(\text{R}) \\\hline\vphantom{\dfrac{A}{A}} \hspace{2cm} & \hspace{2cm} & \hspace{3cm} & \hspace{2cm} \\\hline\text{Card}(\overline{\text{R}}) & \text{Card}(\text{L}\cap \overline{\text{R}}) & \dfrac{\text{Card}(\text{L}\cap \overline{\text{R}})}{\text{Card}(\overline{\text{R}})} & P_{\overline{\text{R}}}(\text{L}) \\\hline\vphantom{\dfrac{A}{A}} \hspace{2cm} & \hspace{2cm} & \hspace{3cm} & \hspace{2cm} \\\hline\end{array}\)

Que remarque-t-on ?
7. Si \(\text{A}\) et \(\text{B}\) sont deux événements, \(\text{A}\) de cardinal non nul, conjecturer une formule pour calculer la probabilité conditionnelle : \(P_\text{A}(\text{B})\).